갑자기 생각난, 쉬워 보이지만, 내겐 너무 어려웠던 그런 수학 문제

MoonCha, 2018-10-16

주사위를 6이 한 번 나올때 까지 던지면 평균적으로 몇 번을 던져야 할까?

아마 나를 포함한 많은 사람들이 ‘6번 던지면 한 번 꼴로 나오니까 6번이겠다.’ 라고 말하리라 생각한다.

그렇다면 다음은 어떨까?

주사위를 6이 두 번 나올떄 까지 던지면 평균적으로 몇 번을 던져야 할까?

그렇다면 마찬가지로 12번이겠다.

하지만, 안타깝게도 이 문제를 처음 마주했을 때는 이러한 사고의 흐름이 이루어지지 않았다. 중학교 영재원 시험인지 뭐인지는 정확히 기억하지 못하지만 어린 시절의 시험 문제였던 이를 제대로 풀어내지 못해 좋지 않은 기억으로 남아있다.

일단 먼저 6번 던지면 한 번 꼴로 나오니까 6번이다. 같은 직관에 의존하지 않고고 한 번 나올때까지 던지면 평균적으로 몇 번 던져야 하는지를 생각해보자.

$k$ 번째 던졌을 때 6이 나오고, 그 전까지는 모두 6이 아닌 것이 나올 확률이 $(1 - \frac{1}{6})^{k-1}(\frac{1}{6})$ 이고, 1번 부터 $n$ 회 까지 시도할 수 있고 $n$ 은 무한히 커질 수 있으므로

$\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{k=1}^{n}{k(1 - \frac{1}{6})^{k-1}(\frac{1}{6})}}$

고등학교 수학에서 멱급수를 처음 배우면 나오는 기본적인 문제로, 고등학교 수학을 적당히 이수했다면 풀 수 있다.

그리고 이어서 두 번 나올때 까지 던지는 문제를 같은 방법으로 풀어보면, 아래와 같은 과정을 거친다.

먼저, 주사위를 한 번 더져서 6이 나올 확률은 $\frac{1}{6}$ 이다. 그리고 주사위 던지기를 $k$ 회 시도했을 때, 마지막을 시도를 제외하고 1번 성공하고 $k-2$ 번 실패하는 경우는 $(\frac{1}{6})^{1}(1 - \frac{1}{6})^{k-2}$ 이고, $\binom{k-1}{1}$ 가지 존재하므로 그 확률은 $(\frac{1}{6})^{1}(1 - \frac{1}{6})^{k-2}\binom{k-1}{1}$ 이다. 그리고 마지막이 성공일 확률은 $\frac{1}{6}$ 이다. 즉, $k$ 번 째 시도에서 6이 2번째로 나올 확률은 $(\frac{1}{6})^{1}(1 - \frac{1}{6})^{k-2}\binom{k-1}{1}(\frac{1}{6})$ 이다.

그리고 우리가 시도해야 하는 횟수는 최소 2회부터 $n$ 회까지이고, 이때 $n$ 은 무한히 커질 수 있으므로 평균적으로 던져야 하는 횟수를 구하려면 아래 급수를 풀어내야 한다.

$\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{k=2}^{n}{k(\frac{1}{6})^{1}(1 - \frac{1}{6})^{k-2}\binom{k-1}{1}(\frac{1}{6})}}$

그래도 여기 까지는 고등학교 수학을 잘 익혔다면 풀 수 있는 멱급수 문제이다. 물론 다소 높은 난이도로 등장하기는 한다. 그리고 이를 풀면 예상처럼 12가 나온다.

그런데 알다시피 두 번이 아니라 세 번만 되어도 깡으로 풀기에는 답이 없는 문제가 되어간다.

이 문제를 일반화 시키면

어떤 시도를 해서 성공할 확률이 $a$ 일 때, $b$ 번 성공할 때까지 시도를 하면 평균적으로 몇 번을 시도해야할까?

가 되고, 앞서 푼 것과 마찬가지로 식을 세우면 아래와 같다.

$\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{k=b}^{n}{k(a)^{b-1}(1 - a)^{k-b}\binom{k-1}{b-1}(a)}}$

그리고 이를 모든 공대생의 희망인 울프람 알파님의 힘을 빌려풀면 직관적으로 생각했을 때 나오는 간단한 결과( $\frac{b}{a}$ )로 바뀐다. (어떻게 푸는지는 대학 수학을 제대로 공부 안해서 모르겠다)

여기서 의문점은 주사위를 6이 2번 나올때 까지 던지면, 평균적으로 몇 번 던져야 할까?라는 문제의 정석 풀이가 위와 같다면 아직 고등학교 수학을 제대로 않았을 어린 나에게 지나치게 어려운 문제가 아니었나 하는 것이다. 사실 멍청한 내겐 지금도 버겁다.

그래서 생각한 것은, 분명히 6번 던지면 한 번 꼴로 나오니까, 12번이다. 같은 직관에 의존하지도 않고 다소 복잡한 계산을 하지 않아도 되는 쉬운 풀이가 있을거라는 생각이 든다.

$\frac{b}{a}$ 로 이어지는 간단한 결과를 구하기 위해 저정도까지 해야하는걸까?

그러니까 다른 풀이를 누군가 좀 알려줬으면 좋겠다.

나의 멍청함을 구제해 주었으면 좋겠다.

누군가 이 글을 봤다면 도와주세요.

2018.11.22 추가

며칠 전 같은 병특 회사에서 근무하고 있는 대학 친구에게 물어본 결과, 새로운 관점의 풀이를 얻어 막힌게 조금은 뚫린 기분이 들었다.

한편으로는 생각해보면 통계를 배운 사람으로서 당연히 연상할 수 있어야 하는 내용인데, 이를 떠올릴 수 없었던 것을 보면 대학에 들어와서는 수학이나 통계를 너무나 챙기지 않았다는게 실감난다. 고등학교 때까지는 수학을 가장 잘하는 학문이라고 생각했는데, 언제 이렇게 됐을까 갑자기 한심함을 느낀다.

아무튼 이 문제를 이산 확률 분포와 연관지어 생각하면, 이항 분포(Binomial Distribution)에 대한 문제로 접근할 수 있다. 이야기 도중에는 푸아송 분포(Poisson Distribution)나 이항 분포의 일반화 형태인 다항 분포(Multinomial Distribution)가 언급됐지만, 굳이 여기까지는 갈 필요가 없는 듯 하다.

이항 분포는 성공할 확률이 $p$ 인 일의 $n$ 번의 시도 중 $k$ 번 성공할 확률( $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ )에 대한 분포이고, 그 기댓값은 $n$ 번의 시도를 하면 평균 $k$ 번 성공한다는 의미가 된다. 따라서 이항 분포의 기댓값( $\mu = np$ )에서 $\mu = 횟수, p = \frac{1}{6}$ 을 만족하는 $n$ 을 찾으면 된다. 기댓값 식에 대한 증명을 포함하더라도 처음 시도한 접근 방식 보다는 훨씬 간단한 접근인 듯 하다.